一、四元数的定义
四元数是由复数扩展而来：
a+bi⟹ω+xi+yj+zk
四元数表示为（齐次形式）：
q=(ω,x,y,z)
或者（标量/向量形式）：
q=(ω,v→)
其中：
i2=j2=k2=ijk=−1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=−k,kj=−i,ik=−j
二、四元数的相关概念
设两个四元数为:
p=x1i→+y1j→+z1k→+w1
q=x2i→+y2j→+z2k→+w2
1、四元数和轴-角
设向量n为旋转轴，θ为绕轴旋转的量。
q=[cos(θ/2),sin(θ/2)n]=[cos(θ/2),(sin(θ/2)nx,sin(θ/2)ny,sin(θ/2)nz)]
2、负四元数
−q=[−w(−x−y−z)]=[−w−v→]
q和-q代表的位移是相同的。
3、单位四元数
几何上存在2个单位四元数：[1,0]和[-1,0]。 它们的意义是：当旋转角为360度的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。
数学上只有一个单位四元数：[1,0]。任意四元数q乘以单位四元数[1,0]仍为q。
4、四元数的模
||q||=||[w,(xyz)]||=w2+x2+y2+z2−−−−−−−−−−−−−−√=||[w,v]||=w2+||v||2−−−−−−−−√
几何意义：
||q||=(cos(θ/2)2+sin(θ/2)2||n||2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
若n为单位向量，则：
||q||=1
5、四元数的共轭
q∗=[w−v]=[w(−x−y−z)]
(q∗)∗=q (pq)∗=q∗p∗ (p+q)∗=q∗+p∗ p∗p=pp∗
6、四元数的逆：
q−1=q∗||q||
使用单位四元数，故
q−1=q∗
几何解释：使向量v反向，则旋转方向也反向了。因此q绕轴旋转θ角，而q*沿相反的方向旋转相同的角度。
7、四元数纯量部：Scalar(p)
Scalar(p)=w
8、四元数向量部：Vector(p)
Vector(p)=xi+yj+zk
9、四元数符号数：sgn(p)
sgn(p)=pp∗
a、四元数辐角：arg(p)
arg(p)=acos(Scalar(p)||p||)
三、四元数的基本运算
1、加减
p±q=(w1±w2)+(x1±x2)i→+(y1±y2)j→+(z1±z2)k→
2、数乘
kp=[k 0]⋅[w v]=k[w v]=[kw kv]=k[w (x y z)]=[kw kx ky kz]
3、点乘
pq=[w1 n1]⋅[w2 n2]=w1w2+v1v2
几何解释：类似于向量点乘的几何解释，两四元数点乘绝对值越大，其代表的角位移越相似。
4、叉乘
[w1 v1]×[w2 v2]=[w1w2−v1v2 w1v2+w2v1+v2×v1]
满足结合律，不满足交换律
p×q=||q||×||q||
(p×q)−1=q−1×p−1
5、对数
单位四元数 ：
q=[cos(θ),sin(θ)v→]
对数为：
logq=[0, θv→]
log[1,(0,0,0)=[0,(0,0,0)]
6、指数
四元数
q=[0,θv→],θ∈R,|v|=1
, 其指数为：
expq=[cosθ,sinθv→]
7、幂
单位四元数：
q，t∈R
, 其幂为:
qt=exp(tlogq)
四、参考
http://www.cnblogs.com/jietian331/p/5671101.html